问题标题:
【请阅读,完成证明和填空.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:(1)如图1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点】
问题描述:
请阅读,完成证明和填空.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下: |
(1)如图1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60度.请证明:∠NOC=60度. (2)如图2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、DM,那么AN=( ),且∠DON=( )度. (3)如图3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、EM,那么AN=( ),且∠EON=( )度. (4)在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.请大胆猜测,用一句话概括你的发现:( ). |
李远华回答:
(1)证明:∵△ABC是正三角形,∴∠A=∠ABC=60°,AB=BC,在△ABN和△BCM中,,∴△ABN≌△BCM,∴∠ABN=∠BCM,又∵∠ABN+∠OBC=60°,∴∠BCM+∠OBC=60°,∴∠NOC=60°;(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAM=∠ABN=90°,AD=AB,又∵AM=DN,∴△ABN≌△DAM,∴AN=DM,∠ADM=∠BAN,又∵∠ADM+∠AMD=90°,∴∠BAN+∠AMD=90°∴∠AOM=90°;即∠DON=90°.(3)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠A=∠B,AB=AE,又∵AM=BN,∴△ABN≌△EAM,∴AN=ME,∴∠AEM=∠BAN,∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°;(4)以上所求的角恰好等于正n边形的内角.
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