字典网 问答 高中 数学 数学的二次函数抛物线的特点
问题标题:
数学的二次函数抛物线的特点
问题描述:

数学的二次函数抛物线的特点

李丹宁回答:
  1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-b/2a.   对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.   特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)   2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)   当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上.   3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.   当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口.   |a|越大,则抛物线的开口越小.   4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.   当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号   可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时   (即ab<0),对称轴在y轴右.   事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的   斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.   5.常数项c决定抛物线与y轴交点.   抛物线与y轴交于(0,c)   6.抛物线与x轴交点个数   Δ=b*2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点.   Δ=b*2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.   _______   Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上   虚数i,整个式子除以2a)   当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变   当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)   7.特殊值的形式   ①当x=1时y=a+b+c   ②当x=-1时y=a-b+c   ③当x=2时y=4a+2b+c   ④当x=-2时y=4a-2b+c   8.定义域:R   值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,   正无穷);②[t,正无穷)   奇偶性:偶函数   周期性:无   解析式:   ①y=ax^2+bx+c[一般式]   ⑴a≠0   ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;   ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);   ⑷Δ=b^2-4ac,   Δ>0,图象与x轴交于两点:   ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);   Δ=0,图象与x轴交于一点:   (-b/2a,0);   Δ<0,图象与x轴无交点;   ②y=a(x-h)^2+k[顶点式]   此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;   ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)   对称轴X=(X1+X2)/2当a>0且X≥(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≤(X1+X2)/2时Y随X   的增大而减小   此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连   用).   [编辑本段]二次函数与一元二次方程   特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,   当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),   即ax^2+bx+c=0   此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.   函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.   1.二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:   解析式顶点坐标对称轴   y=ax^2(0,0)x=0   y=ax^2+K(0,K)x=0   y=a(x-h)^2(h,0)x=h   y=a(x-h)^2+k(h,k)x=h   y=ax^2+bx+c(-b/2a,4ac-b^2/4a)x=-b/2a   当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到,   当h0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;   当h>0,k
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